Szabályos háromszög prizma közelében körülírt gömb. Jobb prizma (jobb négyszögletű)

A „Különböző problémák poliédereken, hengeren, kúpon és golyón” téma az egyik legnehezebb a 11. osztályos geometria tantárgyban. A geometriai feladatok megoldása előtt általában áttanulmányozzák az elmélet releváns részeit, amelyekre a feladatok megoldása során hivatkoznak. S. Atanasyan és munkatársai e témával foglalkozó tankönyvében (138. o.) csak a gömb körül körülírt poliéder, a gömbbe írt poliéder, a poliéderbe írt gömb és a körülírt gömb definíciói találhatók. poliéder közelében. NÁL NÉL iránymutatásokat ez a tankönyv (lásd S. M. Saakyan és V. F. Butuzov „A geometria tanulmányozása 10–11. osztályban” című könyvét, 159. o.) elmondja, hogy mely testkombinációkat kell figyelembe venni a 629–646. számú feladatok megoldása során, és felhívja a figyelmet arra a tényre, hogy „amikor egy adott probléma megoldásához mindenekelőtt azt kell biztosítani, hogy a tanulóknak jó elképzelésük legyen a feltételben megjelölt testek egymáshoz viszonyított helyzetéről." Az alábbiakban a 638 (a) és a 640. számú feladatok megoldását mutatjuk be.

Figyelembe véve a fentieket, és azt, hogy a tanulók számára a legnehezebb feladatokat a labda más testekkel való kombinálásának feladatai jelentik, szükséges a releváns elméleti álláspontok rendszerezése és a hallgatókkal való közlése.

Definíciók.

1. Egy golyót poliéderbe írtnak nevezünk, egy poliédert pedig körülírtnak a golyó közelében, ha a golyó felülete érinti a poliéder összes lapját.

2. Egy golyót poliéder közelében körülírtnak, a poliédert pedig golyóba írtnak nevezzük, ha a golyó felülete a poliéder összes csúcsán áthalad.

3. A golyót hengerbe írtnak, a csonkakúpot (kúpot), a hengert, a csonkakúpot (kúpot) a labda közelében körülírtnak nevezzük, ha a labda felülete érinti az alapokat (alapot) és az összes generátort. a henger, csonka kúp (kúp).

(Ebből a meghatározásból következik, hogy a golyó nagykörének kerülete ezeknek a testeknek bármely tengelyirányú szakaszába beírható).

4. Henger közelében körülírtnak nevezzük a labdát, csonka kúpnak (kúpnak), ha az alapok körei (a talp köre és a teteje) a golyó felületéhez tartoznak.

(Ebből a definícióból az következik, hogy ezeknek a testeknek a tetszőleges tengelyirányú metszete körül leírható a golyó nagyobb körének kerülete).

Általános megjegyzések a labda középpontjának helyzetére vonatkozóan.

1. A poliéderbe írt golyó középpontja a poliéder összes diéderszögének felezősíkjainak metszéspontjában található. Csak a poliéder belsejében található.

2. A poliéderre körülírt gömb középpontja a poliéder összes élére merőleges és azok felezőpontjain átmenő síkok metszéspontjában található. Elhelyezhető a poliéder belsejében, felületén és kívül is.

Egy gömb és egy prizma kombinációja.

1. Egyenes prizmába írt gömb.

1. tétel. Egy gömb akkor és csak akkor írható be derékszögű prizmába, ha a prizma alapjába kör írható, és a prizma magassága megegyezik ennek a körnek az átmérőjével.

Következmény 1. A jobb oldali prizmába írt gömb középpontja az alapba írt kör középpontján átmenő prizma magasságának közepén van.

2. következmény. A golyót különösen egyenes vonalakban írhatjuk fel: háromszög alakú, szabályos, négyszög alakú (amelyben az alap ellentétes oldalainak összegei egyenlők egymással) H = 2r feltétel mellett, ahol H a prizma magassága , r az alapba írt kör sugara.

2. Prizma közelében leírt gömb.

2. tétel. Egy gömb akkor és csak akkor írható körül a prizmára, ha a prizma egyenes, és egy kör körülírható az alapja közelében.

Következmény 1. Az egyenes prizma közelében körülírt gömb középpontja az alap közelében körülírt kör középpontján át húzott prizma magasságának közepén van.

2. következmény. Egy golyót különösen lehet leírni: derékszögű háromszög prizma közelében, szabályos prizma közelében, téglalap alakú paralelepipedon közelében, derékszögű négyszög prizma közelében, amelyben az alap ellentétes szögeinek összege 180 fok.

L. S. Atanasyan tankönyvéből a 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b) feladatok javasolhatók a labda és a prizma kombinációjához.

Gömb és piramis kombinációja.

1. A leírt labda a piramis közelében.

3. tétel. Egy gömb körülírható a piramis közelében, akkor és csak akkor, ha egy kör körülírható az alapja közelében.

Következmény 1. A piramis körül körülírt gömb középpontja a gúla alapjához merőleges vonalnak, amely átmegy az alap közelében körülírt kör középpontján, és egy, a közepén át húzott oldalélre merőleges síknak a metszéspontjában van. ennek az élnek.

2. következmény. Ha a gúla oldalélei egyenlőek egymással (vagy az alap síkjához egyenlő mértékben dőlnek), akkor egy ilyen gúla közelében egy golyó írható le, amelynek középpontja ebben az esetben a golyó metszéspontjában van. a gúla (vagy folytatásának) magassága a síkban fekvő oldalél szimmetriatengelyével oldalél és magasság.

Következmény 3. Egy golyót különösen úgy lehet leírni, hogy egy háromszög alakú gúla közelében, egy szabályos gúla közelében, egy négyszög alakú gúla közelében, amelyben az ellentétes szögek összege 180 fok.

2. Gúlába írt golyó.

4. tétel. Ha a piramis oldallapjai egyformán hajlanak az alaphoz, akkor egy ilyen gúlába gömböt írhatunk.

Következmény 1. Egy olyan gúlába írt golyó középpontja, amelynek oldallapjai egyformán dőlnek az alaphoz képest, a gúla magasságának metszéspontjában van a gúla alján lévő bármely diéderszög lineáris szögének felezőpontjában, melynek oldala a gúla tetejétől húzott oldallap magassága.

2. következmény. Szabályos piramisba beírható egy golyó.

L. S. Atanasyan tankönyvéből a 635., 637. (b), 638., 639. (c), 640., 641. számú feladatok javasolhatók a labda és a piramis kombinációjához.

Gömb kombinációja csonka gúlával.

1. Szabályos csonka gúla közelében körülírt golyó.

5. tétel. Bármely szabályos csonka gúla közelében leírható egy gömb. (Ez a feltétel elegendő, de nem szükséges)

2. Szabályos csonka gúlába írt golyó.

6. tétel. Egy szabályos csonka gúlába akkor és csak akkor írhatunk be golyót, ha a piramis apotémje egyenlő az alapok apotémeinek összegével.

L.S. Atanasyan tankönyvében (636. sz.) egyetlen probléma van a golyó csonka piramissal való kombinálásával.

Kerek testű labda kombinációja.

7. tétel. Henger közelében csonka kúp (jobb kör alakú), kúp, gömb írható le.

8. tétel. Gömböt akkor és csak akkor írhatunk a hengerbe (jobb oldali kör), ha a henger egyenlő oldalú.

9. tétel. Egy gömb bármely kúpba beírható (jobb oldali kör).

10. tétel. Egy golyó akkor és csak akkor írható be csonka kúpba (jobb oldali kör), ha generatrixa egyenlő az alapok sugarainak összegével.

L. S. Atanasyan tankönyvéből a 642., 643., 644., 645., 646. számú feladat javasolható egy kerek testű labda kombinációjához.

A téma anyagának sikeresebb tanulmányozása érdekében szóbeli feladatokat kell beépíteni az órák során:

1. A kocka éle egyenlő a. Keresse meg a golyók sugarát: egy kockába írva és a közelében körülírva. (r = a/2, R = a3).

2. Leírható-e egy gömb (golyó) körül: a) egy kocka; b) négyszögletes paralelepipedon; c) egy ferde paralelepipedon, melynek alján egy téglalap fekszik; d) egyenes paralelepipedon; e) ferde paralelepipedon? a) igen; b) igen; c) nem; d) nem; e) nem)

3. Igaz-e, hogy egy gömb bármely háromszög alakú piramis közelében leírható? (Igen)

4. Leírható-e egy gömb bármely négyszög alakú piramis körül? (Nem, nem a négyszögletű piramis közelében)

5. Milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie egy piramisnak, hogy leírhasson egy körülötte lévő gömböt? (Az alján egy sokszögnek kell lennie, amely körül kör írható le)

6. A gömbbe egy gúlát írunk, melynek oldaléle merőleges az alapra. Hogyan találjuk meg a gömb középpontját? (A gömb középpontja a tér két geometriai pontjának metszéspontja. Az első a piramis alapjának síkjára húzott merőleges, a körülötte leírt kör középpontján keresztül. A második egy erre az oldalélre merőleges és a közepén áthúzott sík)

7. Milyen feltételek mellett írható le egy prizma közelében egy gömb, amelynek az alapja egy trapéz? (Először is a prizmának egyenesnek kell lennie, másodsorban a trapéznak egyenlő szárúnak kell lennie, hogy kör leírható legyen körülötte)

8. Milyen feltételeknek kell megfelelnie egy prizmának, hogy leírhasson egy körülötte lévő gömböt? (A prizma legyen egyenes, az alapja pedig egy sokszög, amely körül kör írható)

9. Egy gömböt írunk le egy háromszög alakú prizma közelében, amelynek középpontja a prizmán kívül van. Melyik háromszög a prizma alapja? (tompa háromszög)

10. Leírható-e egy gömb ferde prizma közelében? (Nem)

11. Milyen feltétel esetén lesz egy derékszögű háromszög prizmára körülírt gömb középpontja a prizma egyik oldallapján? (Az alap egy derékszögű háromszög)

12. A gúla alapja egyenlő szárú trapéz A gúla csúcsának az alap síkjára merőleges vetülete a trapézon kívül eső pont. Leírható egy gömb egy ilyen trapéz körül? (Igen, lehet. Az a tény, hogy a piramis csúcsának merőleges vetülete az alapján kívül helyezkedik el, nem számít. Fontos, hogy a piramis alján egy egyenlő szárú trapéz található - egy sokszög, amely körül kört lehet kialakítani. leírt)

13. Leírunk egy gömböt a szabályos piramis közelében. Hogyan helyezkedik el a középpontja a piramis elemeihez képest? (A gömb középpontja az alap síkjára a középpontján keresztül húzott merőlegesen van)

14. Milyen feltételek mellett található egy derékszögű háromszög prizma körül körülírt gömb középpontja: a) a prizmán belül; b) a prizmán kívül? (A prizma alapján: a) hegyesszögű háromszög; b) tompa háromszög)

15. Leírunk egy gömböt egy téglalap alakú paralelepipedon közelében, amelynek élei 1 dm, 2 dm és 2 dm. Számítsa ki a gömb sugarát! (1,5 dm)

16. Melyik csonkakúpba írható be gömb? (Egy csonkakúpban, melynek tengelyirányú metszetébe kör írható. A kúp tengelymetszete egyenlő szárú trapéz, alapjainak összegének meg kell egyeznie oldaloldalainak összegével. Más szóval, egy kúp, az alapok sugarainak összege egyenlő kell legyen a generatrixszal)

17. Csonkakúpba gömb van beírva. Milyen szögben látható a kúp generatrixa a gömb középpontjából? (90 fok)

18. Milyen tulajdonsággal kell rendelkeznie egy egyenes prizmának, hogy gömböt tudjon beleírni? (Először is, az egyenes prizma alapjának kell lennie egy sokszögnek, amelybe kör írható, másodszor pedig a prizma magasságának meg kell egyeznie az alapba írt kör átmérőjével)

19. Mondjon példát egy piramisra, amelybe nem lehet gömböt beírni? (Például egy négyszögletű piramis, amelynek alján egy téglalap vagy paralelogramma található)

20. Egy egyenes prizma tövében rombusz fekszik. Beírható-e gömb ebbe a prizmába? (Nem, nem lehet, mivel általános esetben lehetetlen leírni egy kört a rombusz közelében)

21. Milyen feltétellel írható be egy gömb derékszögű háromszög prizmába? (Ha a prizma magassága kétszerese az alapba írt kör sugarának)

22. Milyen feltétellel írható be egy gömb egy szabályos négyszög alakú csonka gúlába? (Ha ennek a piramisnak az alaplap rá merőleges oldalának közepén átmenő sík metszete egyenlő szárú trapéz, amelybe kör írható)

23. Háromszög alakú csonka gúlába egy gömb van beírva. A piramis melyik pontja a gömb középpontja? (A piramisba írt gömb középpontja a gúla oldallapjai és az alaplap által alkotott három felező szögsík metszéspontjában van)

24. Leírható-e egy henger körüli gömb (jobb oldali kör)? (Igen tudsz)

25. Leírható-e kúp melletti gömb, csonkakúp (jobb oldali kör alakúak)? (Igen, mindkét esetben megteheti)

26. Beírható-e gömb bármely hengerbe? Milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie egy hengernek, hogy gömb legyen beleírva? (Nem, nem mindenkinél: a henger tengelyirányú szakaszának négyzetnek kell lennie)

27. Beírható-e gömb bármely kúpba? Hogyan határozható meg a kúpba írt gömb középpontjának helyzete? (Igen, bármelyikben. A beírt gömb középpontja a kúp magasságának és a generatrix dőlésszögének az alap síkjához viszonyított szögfelezőjének metszéspontjában van)

A szerző úgy véli, hogy a „Különböző problémák poliéderekhez, hengerekhez, kúpokhoz és golyókhoz” témában a tervezéshez adott három leckéből két leckét érdemes leckét venni a labda más testekkel való kombinálásának problémáinak megoldására. . A fenti tételek bizonyítása a tanórákon eltöltött kevés idő miatt nem javasolt. Felajánlhatja azokat a hallgatókat, akiknek kellő készségük van ezek bizonyításához, a bizonyítás menetének vagy tervének megjelölésével (a tanár belátása szerint).

Egy golyó akkor és csak akkor körülírható a piramis közelében, ha egy kör körülírható az alapja közelében.

A labda O középpontjának felépítéséhez a következőkre lesz szüksége:

1. Keresse meg az O középpontot, az alap közelében körülírt kört.

2. Az O ponton keresztül húzzunk egy egyenest az alap síkjára merőlegesen.

3. A gúla bármely oldalsó élének közepén keresztül rajzoljunk egy erre az élre merőleges síkot.

4. Keresse meg a megszerkesztett egyenes és sík metszéspontjának O pontját!

Speciális eset: a piramis oldalélei egyenlőek. Azután:

a labda leírható;

a golyó O középpontja a piramis magasságában van;

Hol van a körülírt gömb sugara; - oldalborda; H a piramis magassága.

5.2. labda és prizma

Egy gömb a prizma közelében akkor és csak akkor írható körül, ha a prizma egyenes, és egy kör körülírható az alapja közelében.

A golyó középpontja az alapok közelében leírt körök középpontját összekötő szakasz közepe.

hol a körülírt gömb sugara; a körülírt kör sugara az alap közelében; H a prizma magassága.

5.3. golyó és henger

Egy gömb mindig leírható egy henger közelében. A gömb középpontja a henger tengelyirányú metszetének szimmetriaközéppontja.

5.4. labda és kúp

Egy gömb mindig leírható egy kúp közelében. a labda közepe; a kúp tengelyirányú szakaszára körülírt kör középpontjaként szolgál.

2. Alapoldal

Feladatok

1. Határozzuk meg egy egyenes prizma felületét, amelynek alapjában egy rombusz található, amelynek átlói egyenlők 3 és 4, oldaléle pedig 5.

Válasz: 62.

2. Egy egyenes prizma alapjában 6 és 8 átlójú rombusz található. Felülete 248. Keresse meg ennek a prizmának az oldalélét!

Válasz: 10.

3. Határozzuk meg egy szabályos négyszögű prizma oldalélét, ha alapjának oldalai 3, felülete pedig 66!

Válasz: 4.

4. Egy szabályos négyszögű prizmát írunk le egy olyan henger közelében, amelynek alap sugara és magassága 2. Határozza meg a prizma oldalfelületét!

Válasz: 32.

5. Egy szabályos négyszög alakú prizmát írunk le egy olyan henger közelében, amelynek alapsugara 2. A prizma oldalfelülete 48. Határozza meg a henger magasságát!

Egyenes prizma (hatszögletű szabályos)

Olyan prizma, amelyben az oldalélek merőlegesek az alapokra, az alapok pedig egyenlő négyzetek.

1. Oldallapok - egyenlő téglalapok

2. Alapoldal

Feladatok

1. Határozzuk meg egy szabályos hatszögletű prizma térfogatát, amelynek alapoldalai egyenlőek 1-gyel és oldalélei egyenlőek!

Válasz: 4.5.

2. Határozzuk meg egy szabályos hatszögletű prizma oldalfelületét, amelynek alapoldalai 3, magassága 6!

Válasz: 108.

3. Határozzuk meg egy szabályos hatszögletű prizma térfogatát, amelynek minden éle √3.

Válasz: 13.5

4. Határozza meg annak a poliédernek a térfogatát, amelynek csúcsai A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 pontok egy ABCDEFA1B1C1D1E1F1 szabályos hatszögletű prizmában, amelynek alapterülete 6 és oldaléle 2!

Közvetlen prizma (tetszőleges n-szén)

Olyan prizma, amelynek oldalélei merőlegesek az alapokra, alapjai pedig egyenlő n-szögűek.

1. Ha az alap szabályos sokszög, akkor az oldallapok egyenlő téglalapok.

2. Alapoldal .

Piramis

A piramis egy n-szögű A1A2...AnA1 és n háromszögből (A1A2P, A1A3P stb.) álló poliéder.

1. A gúla alapjával párhuzamos szakasz az alaphoz hasonló sokszög. A metszet és az alap területei a piramis csúcsához mért távolságuk négyzeteiként viszonyulnak.

2. Egy gúlát szabályosnak nevezünk, ha alapja szabályos sokszög, és a csúcsa az alap középpontjába vetül.

3. Egy szabályos gúla minden oldaléle egyenlő, az oldallapok pedig egyenlő egyenlő szárú háromszögek.

4. A szabályos gúla oldallapjának magasságát apotémnek nevezzük.

5. Egy szabályos gúla oldalfelületének területe egyenlő az alap és az apotém kerülete szorzatának felével.

Feladatok

1. Hányszorosára nő egy szabályos tetraéder térfogata, ha minden élét megkétszerezzük?

Válasz: 8.

2. Egy szabályos hatszögletű gúla alapjának oldalai 10, oldalélei 13. Határozzuk meg a gúla oldalfelületének területét!

Válasz: 360.

5. Keresse meg az ábrán látható gúla térfogatát! Alapja egy sokszög, amelynek szomszédos oldalai merőlegesek, az egyik oldaléle pedig merőleges az alap síkjára, és egyenlő 3-mal.

Válasz: 27.

6. Határozzuk meg egy szabályos háromszög alakú gúla térfogatát, amelynek alapoldalai 1, magassága pedig .

Válasz: 0,25.

7. Egy háromszög alakú gúla oldalélei egymásra merőlegesek, mindegyik egyenlő 3-mal. Határozzuk meg a gúla térfogatát!

Válasz: 4.5.

8. Egy szabályos négyszög alakú gúla alapjának átlója 8. Az oldaléle 5. Határozza meg a gúla térfogatát!

Válasz: 32.

9. Egy szabályos négyszög alakú gúla magassága 12, térfogata 200. Határozzuk meg a gúla oldalélét!

Válasz: 13.

10. Egy szabályos négyszög alakú gúla alapjának oldalai 6, oldalélei 5. Határozzuk meg a gúla felületét!

Válasz: 84.

11. Szabályos hatszögletű gúla térfogata 6. Az alap oldala 1. Keresse meg az oldalélt!

12. Hányszorosára nő egy szabályos tetraéder felülete, ha minden éle megduplázódik?

Válasz: 4.

13. Egy szabályos négyszög alakú gúla térfogata 12. Határozza meg a gúla térfogatát, amelyet az alap átlóján és a szemközti oldalél közepén átmenő sík vág le róla!

Válasz: 3.

14. Hányszorosára csökken egy oktaéder térfogata, ha minden élét felezzük?

Válasz: 8.

15. Egy háromszög alakú gúla térfogata 15. A sík áthalad ennek a gúla alapjának oldalán, és a gúla tetejétől számítva metszi a szemközti oldalélét egy pontban, amely azt 1:2 arányban osztja el. Határozzuk meg azon piramisok közül a legnagyobb térfogatot, amelyre a sík az eredeti piramist osztja!

Válasz: 10.

16. Határozzuk meg egy szabályos háromszög alakú gúla magasságát, amelynek alapoldalai 2, térfogata pedig .

Válasz: 3.

17. Egy szabályos négyszög alakú gúla magassága 6, oldaléle 10. Határozza meg a térfogatát!

Válasz: 256.

18. Egy háromszög alakú gúlából, amelynek térfogata 12, a gúla tetején és az alap középvonalán átmenő sík háromszög alakú gúlát vág le. Határozza meg a levágott háromszög gúla térfogatát!

Válasz: 3.

Henger

Henger - egy test, amelyet hengeres felület és két szegélyes kör határol.

H

R

testtérfogat	Oldalsó felület	Alapterület	Teljes felület

1. Henger generátorai - a generátorok szegmensei az alapok közé zárva.

2. A henger magassága a generatrix hossza.

3. Axiális metszet - egy téglalap, amelynek két oldala generátor, a másik kettő pedig a henger alapjainak átmérője.

4. Körmetszet - olyan metszet, amelynek metszősíkja merőleges a henger tengelyére.

5. A henger oldalsó felületének fejlesztése - egy téglalap, amely a henger oldalsó felületének metszésének két élét jelenti a generatrix mentén.

6. A henger oldalfelületének területe a fejlődési terület.

7. A henger teljes felületének területét az oldalfelület és a két alapfelület összegének nevezzük.

8. Mindig lehet egy henger közelében lévő gömböt leírni. Középpontja a magasság közepén található. , ahol R a golyó sugara, r a henger alapjának sugara, H a henger magassága.

9. Hengerbe golyó írható, ha a henger alapjának átmérője megegyezik a magasságával, .

Feladatok

1. Egy részt leeresztünk egy 6 liter vizet tartalmazó hengeres edénybe. Ugyanakkor a folyadék szintje az edényben másfélszeresére emelkedett. Mekkora az alkatrész térfogata?

Válasz: 3.

2. Határozza meg annak a hengernek a térfogatát, amelynek alapterülete 1, generatrixa pedig 6, és 30o-os szöget zár be az alapsíkhoz.

Válasz: 3.

3. A hengernek és a kúpnak közös az alapja és a magassága. Határozza meg a henger térfogatát, ha a kúp térfogata 50.

Válasz: 150.

4. A vizet, amely egy hengeres edényben 12 cm-es magasságban volt, egy kétszer nagyobb átmérőjű hengeres edénybe öntöttük. Milyen magasságban lesz a vízszint a második edényben?

5. A henger tengelyirányú metszetének területe . Keresse meg a henger oldalsó felületét.

Válasz: 2.

6. Egy szabályos négyszögű prizmát írunk le egy olyan henger közelében, amelynek alap sugara és magassága 2. Határozza meg a prizma oldalfelületének területét!

Válasz: 32.

7. A henger alapjának kerülete 3. Az oldalfelülete 6. Határozza meg a henger magasságát!

8. Az egyik hengeres bögre kétszer olyan magas, mint a második, de a második másfélszer szélesebb. Határozza meg a második bögre és az első térfogatának arányát.

Válasz: 1.125.

9. Hengeres edényben a folyadék szintje eléri a 18 cm-t Milyen magasságban lesz a folyadék szintje, ha egy második edénybe öntjük, amelynek átmérője 3-szor nagyobb, mint az elsőé?

Válasz: 2.

Kúp

A kúp olyan test, amelyet egy kúpos felület és egy kör határol.

kúptengely

R

csúcs

generátorok

oldalsó felület

r

testtérfogat	Oldalsó felület	Alapterület	Teljes felület

1. A kúp oldalfelületének területe a fejlődési terület.

2. A fejlődési szög és a tengelymetszet csúcsán bezárt szög kapcsolata .

1. A hengernek és a kúpnak közös az alapja és a magassága. Határozza meg a henger térfogatát, ha a kúp térfogata 50.

Válasz: 150.

2. Határozza meg annak a kúpnak a térfogatát, amelynek alapterülete 2, a generatrix pedig 6, és 30o-os szöget zár be az alapsíkhoz.

Válasz: 2.

3. A kúp térfogata 12. A kúp alapjával párhuzamos metszetet húzunk, a magasságot kettéosztva. Keresse meg a levágott kúp térfogatát.

Válasz: 1.5.

4. Hányszor nagyobb egy szabályos négyszög alakú gúla közelében körülírt kúp térfogata, mint egy ebbe a gúlába írt kúp térfogata?

Válasz: 2.

5. A kúp magassága 6, a generatrix 10. Határozza meg a térfogatát osztva ezzel.

Válasz: 128.

6. A hengernek és a kúpnak közös az alapja és a magassága. Határozza meg a kúp térfogatát, ha a henger térfogata 48.

Válasz: 16.

7. A kúp alapjának átmérője 6, az axiális szakasz tetején bezárt szög 90°. Számítsd ki a kúp térfogatát osztva .

8. A kúpot egy szabályos négyszög alakú gúla közelében írjuk le, amelynek alapoldala 4, magassága 6. Határozza meg a térfogatát osztva -val.

9. Kúpot kapunk, ha egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget forgatunk egy 6-os láb körül. Határozzuk meg a térfogatát osztva ezzel.

Gömb és labda

A gömb olyan felület, amely a térben egy adott ponttól adott távolságra található összes pontból áll. A gömb egy gömb által határolt test.

1. A gömbnek egy sík általi metszete kör, ha a gömb középpontja és a sík távolsága kisebb, mint a gömb sugara.

2. A gömb síkmetszete egy kör.

3. A gömb érintősíkja olyan sík, amelynek csak egy közös pontja van a gömbbel.

4. A gömb és a sík érintkezési pontjában megrajzolt gömb sugara merőleges az érintősíkra.

5. Ha egy gömb sugara merőleges a gömbön fekvő végén átmenő síkra, akkor ez a sík érinti a gömböt.

6. Egy poliéderről azt mondjuk, hogy egy gömb közelébe íródik, ha a gömb minden lapját érinti.

7. A gömb egy pontból húzott érintőinek szakaszai egyenlőek és egyenlő szöget zárnak be az ezen a ponton és a gömb középpontján átmenő egyenessel.

8. Egy gömb hengeres felületbe akkor van beírva, ha az összes generátorát érinti.

9. Egy gömb kúpos felületbe akkor van beírva, ha az összes generátorát érinti.

Feladatok

1. Két golyó sugara 6 és 8. Határozza meg annak a golyónak a sugarát, amelynek felülete egyenlő a felületük összegével!

Válasz: 10.

2. A labda nagy körének területe 1. Határozza meg a labda felületét.

3. Hányszorosára nő a labda felülete, ha a sugara megduplázódik?

4. Három golyó sugara 3, 4 és 5. Határozza meg annak a golyónak a sugarát, amelynek térfogata megegyezik a térfogatuk összegével!

Válasz: 6.

5. Egy téglalap alakú dobozt körbeírunk egy 2 sugarú gömb köré. Határozzuk meg a felületét!

Válasz: 96.

6. A sugarú golyóba egy kocka van beírva. Keresse meg a kocka felületét.

Válasz: 24.

7. Egy téglalap alakú dobozt körbeírunk egy 2 sugarú gömb köré. Határozzuk meg a térfogatát!

8. A gömb körül körülírt téglatest térfogata 216. Határozza meg a gömb sugarát!

Válasz: 3.

9. Egy gömb körül körülírt téglatest felülete 96. Határozza meg a gömb sugarát!

Válasz: 2.

10. Leírunk egy hengert a gömb közelében, amelynek oldalfelülete 9. Határozza meg a gömb felületét!

Válasz: 9.

11. Hányszor nagyobb egy kocka körül körülírt gömb felülete, mint egy ugyanabba a kockába írt gömb felülete?

Válasz: 3.

12. A sugarú golyóba egy kocka van beírva. Keresse meg a kocka térfogatát.

Válasz: 8.

Összetett poliéder

Feladatok

1. Az ábrán egy poliéder látható, minden kétszögek poliéder egyenesek. Határozza meg az A és C2 csúcsok közötti távolságot.

Válasz: 3.

2. Határozza meg az ábrán látható poliéder CAD2 szögét! A poliéder minden diéderszöge derékszögű. Válaszát fokokban adja meg.

Válasz: 60.

3. Határozza meg az ábrán látható poliéder felületét (minden diéderszög derékszögű).

Válasz: 18.

4. Határozza meg az ábrán látható poliéder felületét (minden diéderszög derékszögű).

Válasz: 132

5. Keresse meg az ábrán látható, egységkockákból álló térkereszt felületét!

Válasz: 30

6. Határozza meg az ábrán látható poliéder térfogatát (minden diéderszög derékszögű).

Válasz: 8

7.Határozza meg az ábrán látható poliéder térfogatát (minden diéderszög derékszögű).

Válasz: 78

8. Az ábrán egy poliéder látható, a poliéder összes diéderszöge derékszögű. Keresse meg az ABB3 szög érintőjét!

Válasz: 2

10. Az ábrán egy poliéder látható, a poliéder minden diéderszöge derékszögű. Keresse meg a C3D3B3 szög érintőjét.

Válasz: 3

11. Egy háromszög hasáb alapjának középvonalán keresztül az oldaléllel párhuzamos síkot húzunk. Határozza meg a prizma oldalfelületének területét, ha a levágott háromszög prizma oldalfelületének területe 37.

Válasz: 74.

12. Az ábrán egy poliéder látható, a poliéder minden diéderszöge derékszögű. Határozzuk meg a B2 és D3 csúcsok közötti négyzetes távolságot.

Válasz: 11.

A labda közelében egy szabályos négyszög alakú prizmát írnak le, amelynek térfogata 65 dm 3. Számítsa ki a prizma teljes felületének területének és a gömb térfogatának arányát!
A prizmát szabályosnak nevezzük, ha alapjai szabályos sokszögek, oldalélei pedig merőlegesek az alapra. A szabályos négyszög négyzet. Egy négyzet átlóinak metszéspontja a középpontja, valamint a beleírt kör középpontja. Bizonyítsuk be ezt a tényt. bár ezt a bizonyítást nem valószínű, hogy kérik és elhagyható
A paralelogramma, a téglalap és a rombusz speciális fajtájaként a négyzetnek megvannak a tulajdonságai: az átlók egyenlők és felezik a metszéspontot, valamint a négyzet sarkainak felezői. Rajzolj egy egyenest az E ponton keresztül, párhuzamosan az AB-vel. AB merőleges BC-re, ami azt jelenti, hogy TC is merőleges BC-re (ha a két párhuzamos egyenes közül az egyik merőleges az egyenes bármely harmadára, akkor a második párhuzamos egyenes is merőleges erre a (harmadik) egyenesre). Ugyanígy húzunk egy MR egyenest. A BET és AEK téglalap alakú háromszögek befogópontja és hegyesszöge egyenlő (BE=AE – az átlók fele, ∠ EBT=∠ EAK – a derékszög fele), tehát ET=EK. Ugyanígy bizonyítjuk, hogy EM=EP. A CEP és SET háromszögek egyenlőségéből pedig (ugyanaz a jel) látni fogjuk, hogy ET = EP, azaz. ET = EP = EK = EM vagy egyszerűen azt mondjuk, hogy az M pont egyenlő távolságra van a négyzet oldalaitól, és ez szükséges feltétel hogy felismerjük egy ebbe a négyzetbe írt kör középpontjaként.
Tekintsük az ABTK téglalapot (ez a négyszög egy téglalap, mivel a benne lévő összes szög felépítése szerint egyenes). Egy téglalapban az ellentétes oldalak egyenlőek - AB \u003d KT (meg kell jegyezni, hogy KT az alap átmérője) - ez azt jelenti, hogy az alap oldala megegyezik a beírt kör átmérőjével.
Rajzoljunk át egy síkot párhuzamosan (két, ugyanarra a síkra merőleges egyenes párhuzamos) AA 1, CC 1 és BB 1, illetve DD 1 (a párhuzamos egyenesek egy síkot határoznak meg, ráadásul csak egyet). Az AA 1 C 1 C és BB 1 D 1 D síkok merőlegesek az ABCD alapra, mert átmennek rá merőleges egyenes vonalakon (oldalbordák).
A H pontból (az átlók metszéspontja) az ABCD alapra merőleges AA 1 C 1 C síkban. Ekkor ugyanezt tesszük a BB 1 D 1 D síkban is. A tételből: ha a két merőleges sík egyikéhez tartozó pontból merőlegest húzunk a másik síkra, akkor ez a merőleges teljesen az első síkban fekszik, azt kapjuk, hogy ennek a merőlegesnek az AA 1 C 1 C síkban és a BB 1 D 1 D síkban kell feküdnie. Ez csak akkor lehetséges, ha ez a merőleges egybeesik e síkok metszésvonalával - NEM. Azok. a szakasz NEM egy egyenes, amelyen a beírt kör középpontja fekszik (mert NINCS egyenlő távolságra az oldallapok síkjaitól, ez pedig abból következik, hogy az E és H pontok egyenlő távolságra vannak a kör csúcsaitól megfelelő alapok (a bizonyított szerint: az átlók metszéspontja egyenlő távolságra van a négyzet oldalaitól), abból pedig, hogy a NOT merőleges az alapokra, arra következtethetünk, hogy a NOT a golyó átmérője. Tétel : Egy golyó akkor és csak akkor írható szabályos prizmába, ha magassága megegyezik az alapba írt kör átmérőjével, tehát magassága megegyezik az alapba írt kör átmérőjével.Ha kijelöljük az alap oldala mint a, és a prizma magassága h-ra, akkor ezzel a tétellel arra a következtetésre jutunk a=h, majd a prizma térfogata a következőképpen található:

Továbbá, felhasználva azt a tényt, hogy a magasság megegyezik a beírt gömb átmérőjével és a prizma alapjának oldalával, megkapjuk a gömb sugarát, majd térfogatát:

Azt kell mondani, hogy az oldalélek egyenlőek a magassággal (a párhuzamos síkok közé zárt párhuzamos vonalak szakaszai egyenlőek), és mivel a magasság egyenlő az alap oldalával, akkor általában a prizma összes éle egyenlő egymáshoz, és az összes lap lényegében négyzet egy területtel a 2. Valójában egy ilyen alakot kockának neveznek - a paralelepipedon speciális esete. Meg kell találni a kocka teljes felületét, és össze kell kapcsolni a labda térfogatával:

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot (fiókot), és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diák feliratai:

Poliéderek közelében leírt gömbök.

Meghatározás. Egy poliéderről azt mondjuk, hogy beírt egy gömbbe (és egy poliéder közelében körülírt gömbbe), ha a poliéder összes csúcsa ehhez a gömbhöz tartozik. Következmény. A körülírt gömb középpontja a poliéder összes csúcsától egyenlő távolságra lévő pont. O o o . . .

1. Tétel. A két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza egy olyan sík, amely merőleges egy szakaszra, amelynek végei ezekben a pontokban vannak, és áthalad a közepén (a szakaszra merőleges felezők síkján). AB ┴ α AO=OB α A B O

2. Tétel. Az n adott ponttól egyenlő távolságra lévő, ugyanazon a körön lévő pontok halmaza e pontok síkjára merőleges, a körülírt kör középpontján átmenő egyenes. C E A B D O a . . . . . . C E A B D . . . . .

Gömbbe írt prizma. OA=OB=…=OX=R sf. O 1. O. O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X1. .A .B .C .D E. X. a a 1 . O. O 1

Következmények. 1) Derékszögű háromszög prizma közelében egy gömb írható le, mert egy kör mindig körülírható egy háromszög köré. 2) Egy gömb bármely szabályos prizma közelében leírható, mert a szabályos prizma egy egyenes, és egy kör mindig körülírható egy szabályos poliéder közelében. O. O. .

1. számú feladat. A golyót egy prizma közelében írjuk le, amelynek alapjában egy derékszögű háromszög található, 6 és 8 lábakkal. A prizma oldalsó éle 24. Határozzuk meg a labda sugarát. Adott: ∆ ABC – derékszögű; AC=6, BC=8, AA 1=24. Keresse meg: R w = ? Megoldás: 1)OO 1 ┴AB 1 ; OO1 =AA1 =24. 2) ABC: AB=10. 3) O w OB: R w = O w B=√OO w 2 + OB 2 = = √144+25=13 Válasz: 13. O 1 O. . . R w O w C 1 B 1 A 1 A C B

3. számú feladat. Egy téglatest méretei: 2,3 és 5. Határozzuk meg a körülírt gömb sugarát! Adott: AB=a=2; BC=b=3; CC 1=c=5. Keresse meg: R w = ? Megoldás: 1) AC 2 =a 2 +b 2 +c 2. 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 (Téglalap alakú paralelepipedon átlóinak tulajdonsága) 3) A 1 C=√38; R w \u003d O w C \u003d √38 / 2 Válasz: √38 / 2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3. . . Ó sh

3. számú feladat. A szabályos háromszög hasáb alapjának oldala a, oldaléle 2 a. Határozza meg a körülírt gömb sugarát! Adott: AB=BC=AC=a, AA 1 ┴ABC ; AA 1 = 2a. Keresse meg: R w = ? Megoldás: 1)AB=AO √3; AO=a/√3. 2) R w \u003d √ a 2 + a 2 / 3 \u003d 2a / √ 3 Válasz: 2a / √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. O O 1

Következmények. 1) Egy gömb mindig leírható egy háromszög alakú piramis közelében, mivel a kör mindig leírható egy háromszög közelében. 2) Egy szabályos piramis közelében mindig leírhat egy gömböt. 3) Ha a gúla oldalsó élei egyenlőek (hasonlóan dőlnek az alaphoz), akkor egy ilyen gúla közelében mindig leírható egy gömb. *Az utolsó két esetben a gömb középpontja a piramis magasságát tartalmazó egyenesen fekszik. O. O.

Feladatok (a piramis közelében leírt gömb). Egy golyót írunk le a PABC piramis közelében, amelynek alapja egy ABC szabályos háromszög, amelynek oldala 4√3. A PA oldalsó él merőleges a gúla alapjának síkjára, és egyenlő 6-tal. Határozzuk meg a golyó sugarát! Adott: AB=BC=AC=4 √3 ; PA┴(ABC); PA=6. Keresse meg: R w = ? Megoldás: 1) OO SF ┴(ABC); O az ∆ABC körül körülírt kör középpontja; K O SF ┴ PA; KP=AK (KO SF A PA oldalélre merőleges felezők egyike); O SF a körülírt gömb középpontja. 2) OO SF ┴(ABC); OO SF tartozik (AKO) ; PA┴(ABC); AK tartozik (AKO) ; jelentése KA|| OO SF; . O SF. O K.P.A.B.C

Feladatok (a piramis közelében leírt gömb). 3) KO cf┴AP; KO c f tartozik (AOK); AO ┴AP; AO tartozik (AOK) ; jelenti KO c f || AO; 4) A (2) és (3) pontból : AOO c f K-téglalap, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/√3=4; 6) ∆ AO O c f: AO c f \u003d R w \u003d 5 Válasz: 5

Feladatok (a piramis közelében leírt gömb). Egy szabályos négyszögletű piramisban az oldalsó él 45˚-os szöget zár be az alaphoz képest. A piramis magassága h. Határozza meg a körülírt gömb sugarát! Adott: PABCD egy szabályos piramis; (AP^(ABC))=45˚; PO=h. Keresse meg: R w = ? Megoldás: 1) AO=OP=h; AP=h √ 2; 2) ∆PAP 1 – téglalap alakú; PP 1 - golyó átmérője; PP 1 \u003d 2 R w; AP 2 = PP 1 *OP; (h √ 2) 2 = 2 Rw *h; R w \u003d 2h 2 / 2h \u003d h. Válasz: h. C. B A. .D .P .P 1 . O

Feladatok (a piramis közelében leírt gömb). Egyedül. A szabályos tetraéderre körülírt gömb sugara R. Határozza meg a tetraéder teljes felületét!

Feladatok (a piramis közelében leírt gömb). Egyedül. Adott: A DABC szabályos tetraéder; R a gömb sugara. Keresse: S teljes tetra. =? Megoldás: 1) Mivel a tetraéder szabályos, a körülírt gömb középpontja a gúla magasságát tartalmazó egyeneshez tartozik; 2) S teljes tetra. = a 2 √ 3/4*4= a 2 √ 3; 3) A D, A, D 1 pontok ugyanahhoz a körhöz tartoznak - a gömb DAD 1 sík szerinti metszete, tehát a DAD 1 szög egy beírt szög az átmérő alapján, DD 1; szög DAD 1 =90˚; 4) AO a derékszög csúcsából húzott ∆ ADD 1 magasság. AD 2 = DO*DD 1 ; 5) AO=a/√ 3; DO= √ a 2 -a 2 / 3 = a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3*2R; a= √ 2 / √ 3*2R; a 2 \u003d 8R 2/3; .D 1 .D .O .B .C A. a a

Feladatok (a piramis közelében leírt gömb). Egyedül. 6) S teljes tetra. = 8R 2 √ 3/3 Válasz: 8R 2 √ 3/3